<div dir="ltr">Hi Lucas,<div><br></div><div>Q3c) -- when deriving the PDE in the previous parts you are showing that the price of the security must satisfy the PDE + BC's + FC. In part c) you are essentially asked to show the converse -- that is if you have a solution to the PDE then it must be the AFP of the option. This is analogous to what is done in theorem 8.2 for the European Call.</div><div><br></div><div>Q2) -- When you look at the final answer you get you should notice that <img alt="X(T) \ne 0" title="X(T) \ne 0" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X(T)%09%5Cne%090" id="gmail-l0.6238762170367758" height="16" width="69" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> -- in fact you can determine a sign for <img alt="X(T)" title="X(T)" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X(T)" id="gmail-l0.7690617156435695" height="16" width="38" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> depending on the relationship of <img alt="\sigma_2" title="\sigma_2" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma%5F2" id="gmail-l0.3151104731254315" height="9" width="15" style="display: inline; vertical-align: -2.2px;"> and <img alt="\sigma_1" title="\sigma_1" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma%5F1" id="gmail-l0.16434067828765664" height="10" width="14" style="display: inline; vertical-align: -2.567px;">. Furthermore you should notice that <img alt="X(T)" title="X(T)" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X(T)" id="gmail-l0.6307931457469507" height="16" width="38" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> is not stochastic (i.e. it's deterministic/risk-free) so that you always get this value for your portfolio at maturity. Of course if <img alt="\sigma_1 = \sigma_2" title="\sigma_1 = \sigma_2" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma%5F1%09=%09%5Csigma%5F2" id="gmail-l0.5998706694123583" height="10" style="display: inline; vertical-align: -2.567px;" width="53">  then you get back <img alt="X(T) = 0" title="X(T) = 0" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X(T)%09=%090" id="gmail-l0.8023597768809627" height="16" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;" width="69"> which makes sense since then the call was appropriately priced to begin with.</div><div><br></div><div>What this shows is that in the case when <img alt="\sigma_1 \ne \sigma_2" title="\sigma_1 \ne \sigma_2" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma%5F1%09%5Cne%09%5Csigma%5F2" id="gmail-l0.42726116024378946" style="display: inline; vertical-align: -3.3px;" height="15" width="53">  following the delta hedging rule will always yield a positive (or negative, depending on relationship of <img alt="\sigma_2" title="\sigma_2" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma%5F2" id="gmail-l0.1184354072939211" height="9" width="15" style="display: inline; vertical-align: -2.2px;"> and <img alt="\sigma_1" title="\sigma_1" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma%5F1" id="gmail-l0.853376990604104" height="10" width="14" style="display: inline; vertical-align: -2.567px;">) portfolio value and since we started off with 0 (i.e. we bought the call, shorted <img alt="\Delta" title="\Delta" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5CDelta" id="gmail-l0.026645783749709828" height="12" width="12" style="display: inline;"> shares and put/borrowed the remainder in the money market account) -- this is precisely an arbitrage opportunity. This doesn't contradict anything since <img alt="\sigma_1 \ne \sigma_2" title="\sigma_1 \ne \sigma_2" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma%5F1%09%5Cne%09%5Csigma%5F2" id="gmail-l0.42726116024378946" height="15" width="53" style="display: inline; vertical-align: -3.3px;"> implies that the call was mispriced and so we actually expect there to be arbitrage. </div><div><br></div><div>Indeed in this case the portfolio value will depend on the stock price path taken, so it will not just depend on <img alt="S(T)" title="S(T)" class="gmail-va_li" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09S(T)" id="gmail-l0.46654382586721743" height="16" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;" width="34"> and so wouldn't be Markovian.</div><div><br></div><div>Hope this helps,</div><div><br></div><div>David </div></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Dec 5, 2017 at 11:50 AM, Lucas Duarte Bahia <span dir="ltr"><<a href="mailto:lduarteb@andrew.cmu.edu" target="_blank">lduarteb@andrew.cmu.edu</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr">Hi,<div><br><div>Q3 -c) Is it enough to say that I derived the PDE assuming dX(t) = dc, and by uniqueness of semi-martigale we get that  X=c?</div><div><br></div><div>Q2)</div><div>I saw an email earlier and the question itself saying that there is an arbitrage and that the option was priced incorrectly.</div><div><br></div><div>I don't see how you have an arbitrage if at the time you are creating the hedge you don't know the value of the future volatility, and you have a non-zero probability of loosing money. I also don't see how the price of the call is incorrect, for me it is correct but the future was different than what was expected so the position generated a profit or loss.</div><div><br></div><div>Also I noticed that we have the final of the portfolio as an integral involving among other things the the stock price and gamma. Does that mean that our wealth value (long call short replicating portfolio) will not be a markov process?</div><div><div><div class="m_2220160718273960865gmail_signature" data-smartmail="gmail_signature"><div dir="ltr"><p style="font-size:12.8px">Best Regards,</p><div style="font-size:12.8px"><b>Lucas Duarte Bahia</b></div><div style="font-size:12.8px">MS. Computational Finance Student</div><div style="font-size:12.8px">Carnegie Mellon University</div><div style="font-size:12.8px">Telephone: <a href="tel:(412)%20378-1892" value="+14123781892" style="color:rgb(17,85,204)" target="_blank">(412) 378-1892</a></div></div></div></div>
</div></div></div>
<br>______________________________<wbr>_________________<br>
mscf-944 mailing list<br>
<a href="mailto:mscf-944@lists.andrew.cmu.edu">mscf-944@lists.andrew.cmu.edu</a><br>
<a href="https://lists.andrew.cmu.edu/mailman/listinfo/mscf-944" rel="noreferrer" target="_blank">https://lists.andrew.cmu.edu/<wbr>mailman/listinfo/mscf-944</a><br>
<br></blockquote></div><br></div>