<div dir="ltr">Just to add to this, I just realized that when I replied to Richard I hit "reply" rather than "reply all". Here was my response:<div><br></div><div><span style="font-size:12.8px">Hi Richard,</span><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">Z will also be G-measurable. In general if <img alt="X_1,...,X_n" title="" class="gmail-m_6641307318131143135gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X%5F1,...,X%5Fn" id="gmail-m_6641307318131143135gmail-l0.5647965078803852" height="14" width="70" style="display: inline; vertical-align: -2.934px;"> are random variables and <img alt="f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}" title="" class="gmail-m_6641307318131143135gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09f:%09%5Cmathbb%7BR%7D%5En%09%5Crightarrow%09%5Cmathbb%7BR%7D" id="gmail-m_6641307318131143135gmail-l0.7780014896178555" height="15" width="81" style="display: inline; vertical-align: -3.3px;"> is a Borel function (i.e. <img alt="f^{-1}(-\infty,a) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)" title="" class="gmail-m_6641307318131143135va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09f%5E%7B-1%7D(-%5Cinfty,a)%09%5Cin%09%5Cmathcal%7BB%7D(%5Cmathbb%7BR%7D%5En)" id="gmail-m_6641307318131143135l0.0044278859039117435" height="17" width="149" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> for all <img alt="a \in \mathbb{R}" title="" class="gmail-m_6641307318131143135gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09a%09%5Cin%09%5Cmathbb%7BR%7D" id="gmail-m_6641307318131143135gmail-l0.2670317110243321" height="12" width="40" style="display: inline; vertical-align: -0.367px;"> where <img alt="\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)" title="" class="gmail-m_6641307318131143135va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BB%7D(%5Cmathbb%7BR%7D%5En)" id="gmail-m_6641307318131143135l0.33301430995587267" height="16" width="43" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> is the Borel sigma algebra in <img alt="\mathbb{R}^n" title="" class="gmail-m_6641307318131143135va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathbb%7BR%7D%5En" id="gmail-m_6641307318131143135l0.053875534056179175" height="11" width="19" style="display: inline;">) then <img alt="f(X_1,...,X_n)" title="" class="gmail-m_6641307318131143135gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09f(X%5F1,...,X%5Fn)" id="gmail-m_6641307318131143135gmail-l0.7286830848192767" height="16" width="92" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> will be a random variable (i.e. G-measurable). So in particular this will hold for all continuous functions f. </div><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">In the above example we have <img alt="f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}" title="" class="gmail-m_6641307318131143135gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09f:%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%09%5Crightarrow%09%5Cmathbb%7BR%7D" id="gmail-m_6641307318131143135gmail-l0.2933117507710512" height="17" width="79" style="display: inline; vertical-align: -3.3px;"> given by <img alt="f(x,y) = x + y" title="" class="gmail-m_6641307318131143135gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09f(x,y)%09=%09x%09%2B%09y" id="gmail-m_6641307318131143135gmail-l0.3816021758285859" height="16" width="108" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;">, which is Borel so X + Y is a random variable.</div></div><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">Thanks,</div><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">David</div></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Nov 7, 2017 at 10:37 AM, Gautam Iyer <span dir="ltr"><<a href="mailto:gi1242+944@cmu.edu" target="_blank">gi1242+944@cmu.edu</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><span class="">On Tue, Nov 07, 2017 at 08:37:50AM -0500, Richard Rosenbaum wrote:<br>
<br>
> Say X, Y, and Z are RVs. G is a sigma algebra.<br>
><br>
> Z = X + Y<br>
><br>
> If X and Y are both G-measurable, does this imply that Z is also<br>
> G-measurable?<br>
<br>
</span>Yes! Try it, it isn't too hard.<br>
<span class=""><br>
> I guess more generally - say a random variable is some function of<br>
> other RVs. does the measurability of the two RVs that the function<br>
> takes as inputs imply that the function itself is measurable with<br>
> respect to that same sigma algebra?<br>
<br>
</span>Almost always. To be 100% correct:<br>
<br>
    Suppose f is a function from R^2 to R (i.e. takes two real numbers<br>
    as inputs), AND is measurable with respect to the Borel sigma<br>
    algebra. If X and Y are any two random variables, then f(X, Y) is<br>
    also a random variable.<br>
<br>
It's really really hard to write down non-Borel measurable functions. So<br>
almost every function you encouter will be Borel measurable, and so<br>
almost every operation you do to random variables will yield a random<br>
variable.<br>
<br>
Best,<br>
<br>
Gautam<br>
<span class="HOEnZb"><font color="#888888"><br>
--<br>
The system requirements said 'Requires Windows 95 or better', so I<br>
bought a Mac.<br>
</font></span><div class="HOEnZb"><div class="h5">______________________________<wbr>_________________<br>
mscf-944 mailing list<br>
<a href="mailto:mscf-944@lists.andrew.cmu.edu">mscf-944@lists.andrew.cmu.edu</a><br>
<a href="https://lists.andrew.cmu.edu/mailman/listinfo/mscf-944" rel="noreferrer" target="_blank">https://lists.andrew.cmu.edu/<wbr>mailman/listinfo/mscf-944</a><br>
</div></div></blockquote></div><br></div>