<div dir="ltr"><span style="font-size:12.8px">Hi Richard,</span><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">The converse of what you said is true -- that is if <img alt="\mathcal{F} \subset \mathcal{G}" title="\mathcal{F} \subset \mathcal{G}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BF%7D%09%5Csubset%09%5Cmathcal%7BG%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.7162907024958689" height="13" width="46" style="display: inline; vertical-align: -1.834px;">  and <img alt="X" title="X" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.8109352311925395" height="11" width="13" style="display: inline;"> is <img alt="\mathcal{F}" title="\mathcal{F}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BF%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.1771596418465109" height="12" width="13" style="display: inline;">-measurable then <img alt="X" title="X" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.7314166208987998" height="11" width="13" style="display: inline;"> is also <img alt="\mathcal{G}" title="\mathcal{G}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BG%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.620722921273809" height="13" width="9" style="display: inline; vertical-align: -1.834px;">-measurable. On the other hand if <img alt="X" title="X" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.7314166208987998" height="11" width="13" style="display: inline;"> is <img alt="\mathcal{G}" title="\mathcal{G}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BG%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.620722921273809" height="13" width="9" style="display: inline; vertical-align: -1.834px;">-measurable then we cannot conclude anything about it being <img alt="\mathcal{F}" title="\mathcal{F}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BF%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.04785853045537025" height="12" width="13" style="display: inline;">-measurable since it is possible that <img alt="X^{-1}(-\infty,a) \in \mathcal{G}\setminus\matcal{F}" title="X^{-1}(-\infty,a) \in \mathcal{G}\setminus\matcal{F}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X%5E%7B-1%7D(-%5Cinfty,a)%09%5Cin%09%5Cmathcal%7BG%7D%5Csetminus%5Cmatcal%7BF%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.7512760598866446" height="17" width="150" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> and so would not be <img alt="\mathcal{F}" title="\mathcal{F}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BF%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.04785853045537025" height="12" width="13" style="display: inline;">-measurable. The intuition behind this is that <img alt="\mathcal{F}" title="\mathcal{F}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BF%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.20837793790246062" height="12" width="13" style="display: inline;"> gives us less information than <img alt="\mathcal{G}" title="\mathcal{G}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BG%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.24896041886547216" height="13" width="9" style="display: inline; vertical-align: -1.834px;"> and so we may not be able to deduce as much from it -- we saw an example of this in recitation 1 with a two period binomial tree model where the return of our stock at time 2 was <img alt="G_2" title="G_2" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09G%5F2" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.3872063134917294" height="14" width="18" style="display: inline; vertical-align: -2.2px;"> measurable, but not <img alt="G_1" title="G_1" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09G%5F1" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.364231804581453" height="14" width="17" style="display: inline; vertical-align: -2.567px;"> measurable. </div><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">I think the easiest way to remember is to have this trivial example in the back of your mind: take <img alt="\mathcal{G}" title="\mathcal{G}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BG%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.24896041886547216" height="13" width="9" style="display: inline; vertical-align: -1.834px;"> = <img alt="\mathcal{P}(\Omega)" title="\mathcal{P}(\Omega)" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BP%7D(%5COmega)" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.12976433846393598" height="16" width="36" style="display: inline; vertical-align: -3.667px;"> (i.e. the power set) and <img alt="\mathcal{F} = \{\emptyset, \Omega\}" title="\mathcal{F} = \{\emptyset, \Omega\}" class="gmail-m_1820138754445527879gmail-va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BF%7D%09=%09%5C%7B%5Cemptyset,%09%5COmega%5C%7D" id="gmail-m_1820138754445527879gmail-l0.6100494247856121" height="17" width="79" style="display: inline; vertical-align: -4.034px;">(trivial <img alt="\sigma" title="\sigma" class="gmail-m_1820138754445527879va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Csigma" id="gmail-m_1820138754445527879l0.3376057616811414" height="7" width="9" style="display: inline;">-algebra). Then all <img alt="X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}" title="X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}" class="gmail-m_1820138754445527879va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09X:%09%5COmega%09%5Crightarrow%09%5Cmathbb%7BR%7D" id="gmail-m_1820138754445527879l0.10730468912678681" height="12" width="78" style="display: inline;"> are <img alt="\mathcal{G}" title="\mathcal{G}" class="gmail-m_1820138754445527879va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BG%7D" id="gmail-m_1820138754445527879l0.20628870353924955" height="13" width="9" style="display: inline; vertical-align: -1.834px;">-measurable, but only constant random variables will be <img alt="\mathcal{F}" title="\mathcal{F}" class="gmail-m_1820138754445527879va_li gmail-CToWUd gmail-hoverZoomLink hoverZoomLink" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B300%7D%5Cinline%09%5Cmathcal%7BF%7D" id="gmail-m_1820138754445527879l0.7785662661513517" height="12" width="13" style="display: inline;">-measurable.</div><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">Hope this helps,</div><div style="font-size:12.8px"><br></div><div style="font-size:12.8px">David</div></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Sun, Nov 5, 2017 at 6:36 AM, Richard Rosenbaum <span dir="ltr"><<a href="mailto:rrosenba@andrew.cmu.edu" target="_blank">rrosenba@andrew.cmu.edu</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif">Say G is a sigma algebra and F is a smaller sigma algebra contained in G.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif">Say X is a RV that is G-measurable.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif">Why is X not also F-measurable?</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif">This idea was discussed briefly in the TA session on Friday, but I am still a bit confused. My intuition would be that since G is larger, and X is measurable with respect to G, then X would also be measurable with respect to F since it is contained in G.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif">If anyone could share their thoughts, it would be much appreciated.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif">Regards,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif">Rich</div><span class="HOEnZb"><font color="#888888"><div><br></div>-- <br><div class="m_2453308289593645598gmail_signature" data-smartmail="gmail_signature"><div dir="ltr"><div><div dir="ltr"><font face="verdana, sans-serif">Richard Rosenbaum</font><div><font face="verdana, sans-serif">Master of Science in Computational Finance Candidate</font></div><div><font face="verdana, sans-serif">Carnegie Mellon University - Class of Dec. 2018</font></div></div></div></div></div>
</font></span></div>
<br>______________________________<wbr>_________________<br>
mscf-944 mailing list<br>
<a href="mailto:mscf-944@lists.andrew.cmu.edu">mscf-944@lists.andrew.cmu.edu</a><br>
<a href="https://lists.andrew.cmu.edu/mailman/listinfo/mscf-944" rel="noreferrer" target="_blank">https://lists.andrew.cmu.edu/<wbr>mailman/listinfo/mscf-944</a><br>
<br></blockquote></div><br></div>